Unidad 2.4

Volumen de cubos, prismas y pirámides

RES

Propósito

Que el alumno comprenda diferentes aproximaciones a la fórmula para calcular volúmenes de prismas. Así mismo, que vea como surge la fórmula para calcular volúmenes de pirámides. Por último, que tenga un acercamiento a la idea de límite y de estimación de volúmenes.

Instrucciones Generales

Esta unidad contiene cinco apartados:

1. Prismas 1
2. Prueba
3. Prismas 2
4. Prismas 3
5. Pirámides
6. Ejercicios

Los tres botones que se encuentran en la parte derecha tienen la función siguiente:

Brinda acceso a la ayuda de las escenas interactivas

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Nota: Los apartados Prismas 1, 2 y 3 están diseñados para llevar al usuario a través de diferentes ideas que permiten generar, poco a poco, el concepto de volumen de prismas. Véanse estas secuencias en el orden propuesto ya que están seriadas.

1. Prismas 1

El apartado Prismas 1 enseña a profundidad como calcular el volumen de prismas con medidas enteras, haciendo que el alumno comprenda el uso de las multiplicaciones para dicho propósito, sustituyendo así, el conteo de cubos (uno por uno) que caben en el interior.

Prismas 1-1

Presentación de las ideas principales: dividir el prisma en cubos unitarios

Los controles para controlar la presentación aparecen en la parte inferior de la escena y son:

• Avanzar - Pasa a la siguiente lámina.
• Retroceder - Regresa a la lamina anterior.
• Pausa - Detiene la presentación.
• Continuar - Sigue la presentación después de una Pausa.

Advertencia: La escena se puede pausar de forma automática en momentos clave, por ejemplo, cuando se plantea una pregunta que haya que responderse.

Sugerencias Didácticas

Aunque la escena es prácticamente autocontenida se sugiere lo siguiente:

En la escena aparecen las siguientes preguntas abiertas. A continuación presentamos algunas posibles respuestas y observaciones:

-¿Cuántas veces cabe el cubo?-

En esta pregunta se sugiere hacer una pausa, invitando la participación de los alumnos antes de continuar, con el fin de observar posibles errores de interpretación de la escena.

2. Prueba

Prueba Menú

Aquí se observa el menú para acceder a uno de los 3 ejercicios, los cuales están graduados por dificultades. Al pulsar Fácil se accede a la escena Prueba 1, al pulsar Medio se accede a la escena Prueba 2, y al pulsar Difícil se accede a la escena Prueba 3.

Prueba 1

En este ejercicio aparece un prisma en su vista isométrica la cual permite un rápido conteo de las dimensiones del cubo. Al terminar el conteo hay que escribirlo en el espacio, el cual, en el caso de utilizar el teclado, se actualiza con la tecla Intro. Utilizando el pizarrón electrónico se puede acceder a una calculadora pulsando dos veces sobre el espacio para anotar el resultado. Cada serie tiene 10 ejercicios.

Prueba 2

En este ejercicio aparece un prisma en su vista tridimensional la cual permite dificulta un rápido conteo de las dimensiones del cubo. Al terminar el conteo hay que escribirlo en el espacio, el cual, en el caso de utilizar el teclado, se actualiza con la tecla Intro. Utilizando el pizarrón electrónico se puede acceder a una calculadora pulsando dos veces sobre el espacio para anotar el resultado. Cada serie tiene 10 ejercicios.

Prueba 3

En este ejercicio aparecen figuras irregulares hechas con cubos. Al terminar de contar el número de cubos que forman cada figura hay que escribirlo utilizando el teclado numérico que aparece del lado derecho. Si se comete algún error, puede corregirse con la tecla "C" del mismo teclado. Cada serie tiene 10 ejercicios.

Sugerencias Didácticas Generales

Formar equipos de 5 alumnos y hacer competencias para ver cual obtiene un mejor tiempo. Se sugiere advertir que los errores se contabilizan sumando tiempo al cronómetro, por lo que no es conveniente apresurar la respuesta. Esta escena puede utilizarse para evaluar a los alumnos en grupo o de forma individual.

Presionando la flecha verde se pasa a la escena siguiente.

2. Prismas 2

El apartado Prismas 2 complementa al anterior introduciendo, además de las medidas enteras, medidas fraccionarias y decimales. En el se presenta una aproximación completamente diferente a la fórmula de volumen a través de proporciones, enriqueciendo de esta forma, las perspectivas que tiene el alumno del mismo concepto.

Este apartado se divide en 2 escenas teóricas Prismas 2-1 está dedicada a mostrar el problema de aplicar el conteo de cubos en prismas con medidas no enteras (motivación), y Prismas 2-2 que presenta una idea alterna para deducir la fórmula del volumen de prismas mediante proporcionalidad (Idea que se utilizará también posteriormente en el apartado Prismas 3).

Prismas 2-1

Los controles para controlar la presentación aparecen en la parte inferior de la escena y son:

• Avanzar - Salta a la siguiente lamina.
• Retroceder - Regresa al principio de la lamina anterior.
• Pausa - Pausa la presentación.
• Continuar - Continua la presentación después de una Pausa.

Advertencia: La escena se puede pausar de forma automática en momentos clave, por ejemplo, cuando se plantea una pregunta que hay que responder.

Sugerencias Didácticas

Aunque la escena es prácticamente autocontenida se sugiere lo siguiente:

1. -Estos prismas son diferentes a los anteriores ¿Puedes adivinar porqué?- En esta pregunta se sugiere hacer participar a los alumnos y escuchar todas las alternativas que dan sin privilegiar ninguna.
2. -¿Servirá la misma fórmula para calcular volúmenes con estos prismas? Comenta en clase...- Aquí, haciendo una pausa, se les puede recalcar la importancia que tuvo el conteo de cubos en el apartado anterior, el cual, no es posible aquí. Escuchar las ideas de los alumnos para salvar esta dificultad es una buena dinámica de clase. Por ejemplo, algún alumno puede sugerir el juntar los cubos incompletos para armar cubos completos con los pedazos, y así, contarlos todos.

Prismas 2-2

Los controles para controlar la presentación aparecen en la parte inferior de la escena y son:

• Avanzar - Salta a la siguiente lamina.
• Retroceder - Regresa al principio de la lamina anterior.
• Pausa - Pausa la presentación.
• Continuar - Continua la presentación después de una Pausa.

Advertencia: La escena se puede pausar de forma automática en momentos clave, por ejemplo, cuando se plantea una pregunta que hay que responder.

Sugerencias didácticas

En Prismas 2-2, en algunas láminas, aparecen preguntas que se responden inmediatamente en la siguiente lámina, la discusión completa se puede realizar terminando la escena. Hágase hincapié en que con las ideas presentadas, utilizando el concepto de proporción se logra demostrar que, la fórmula obtenida en el apartado 1, sirve aquí también.

3. Prismas 3

El apartado Prismas 3 generaliza lo más posible (en este nivel medio) el concepto de volumen en prismas, considerando éstos con bases no rectangulares. Para ello se introducen ideas que, mediante un primitivo concepto de límite, permiten aproximarse al cálculo y/o estimación del área de la base de diferentes prismas.

Prismas 3-1

Al comenzar la escena se presentará una animación explicando como se puede deducir fácilmente la fórmula para calcular el volumen de pirámides con base triangular. Al finalizar la animación se muestra un prisma con base triangular editable, el cual está encerrado en un prisma rectangular apropiado para comprender las ideas expuestas durante la presentación.

Prismas 3-2

Los controles para controlar las presentaciones aparecen en la parte inferior de las escenas y son:

• Avanzar - Salta a la siguiente lamina.
• Retroceder - Regresa al principio de la lamina anterior.
• Pausa - Pausa la presentación.
• Continuar - Continua la presentación después de una Pausa.

Conviene advertir que las escenas se pausan de forma automática en momentos clave, por ejemplo, cuando se plantea una pregunta que hay que responder.

Sugerencias Didácticas

Aunque la escena es prácticamente autocontenida se sugiere lo siguiente:

1. -Como estos prismas no tienen base rectangular, no sabemos si se puede utilizar la fórmula del caso anterior- Aquí se puede hacer una pausa para que los alumnos participen diciendo por que no se sabe si la fórmula sirve con estos prismas. Una respuesta posible es que se calculaba la fórmula con respecto a proporciones y aquí no se pueden aplicar directamente.
2. -¿Cómo calcularías sus volúmenes usando lo que sabemos de los casos anteriores? - Otra vez, hacer una pequeña pausa para que los alumnos reflexionen, es un buen ejercicio para la clase. Si algún alumno participa con alguna idea se le puede comparar con las que aparecen en las laminas siguientes.
3. -¿Qué se te ocurre para calcular el volumen del prisma amarillo?- Esta pregunta está planeada para motivar la curiosidad de los alumnos, no se espera ninguna respuesta, pero es conveniente hacer una pausa para que reflexionen un minuto.
4. -Anota en una hoja los métodos que se te ocurran ...- Esta pregunta es adecuada para motivar una tarea a casa, ejemplos de respuestas posibles puede ser el hacer un modelo real del prisma con cartón utilizando los desarrollos planos de la unidad anterior. Ya armado, lo llenamos con agua y medimos la cantidad en litros que cabe dentro, tomando en cuenta que un litro es equivalente a 1 decímetro cúbico obtenemos el volumen. También podemos cuadricular la base con cuadrados pequeños, contar cuantos cuadritos hay dentro y calcular su área para estimar el total, etc.

Sugerencias Didácticas

• ¿Cómo calcularias el volumen de un prisma que tenga una base poligonal? - Pintese en el pizarrón un polígono cualquiera y parta lo en triángulos, la solución de calcular el volumen de cada prisma triangular y luego sumar los volúmenes debe surgir en cuestión de minutos.
  
• ¿Y el de un prisma que tenga una base con forma de ovalo o circulo? - Esta pregunta es interesante para poner a pensar a los alumnos y no es necesario responderse, un -Más adelante sabrán la respuesta- es más que suficiente para lograr motivar la curiosidad matemática. No obstante, puede dibujarse un polígono de muchos lados que se parezca mucho a un ovalo o a un circulo, y usando la respuesta de la pregunta anterior, obtenemos un método para aproximar el volumen deseado.
  

Prismas 3-3

Los controles para controlar las presentaciones aparecen en la parte inferior de las escenas y son:

• Avanzar - Salta a la siguiente lamina.
• Retroceder - Regresa al principio de la lamina anterior.
• Pausa - Pausa la presentación.
• Continuar - Continua la presentación después de una Pausa.

Conviene advertir que las escenas se pausan de forma automática en momentos clave, por ejemplo, cuando se plantea una pregunta que hay que responder.

Sugerencias Didácticas

Aunque la escena es prácticamente autocontenida se sugiere lo siguiente:

En Prismas 3-2 aparecen las siguientes frases o preguntas que presentamos a continuación con algunas posibles respuestas y observaciones:

1. -En estos prismas de altura 1, se puede estimar cuantas veces cabe el cubo azul fijándonos en su base.- Esta afirmación puede que no quede muy clara, por lo que es conveniente observar que, si comenzamos a llenar la figura con cubos, todos van a estar apoyados en la base del prisma, ya que no hay espacio hacia lo alto donde ponerlos.
2. -Si sumamos el número de completos más la mitad de los incompletos, obtenemos una aproximación de lo que buscamos- Aquí se puede pausar un poco la animación para preguntar a los alumnos ¿qué pasa si usamos cubos muy pequeños? por ejemplo, si al usar cubos que miden un centímetro cúbico queda muchas área en la base llena con pedazos, ¿qué pasa si uso cuadrados de un milímetro cúbico? Si se dibuja un triángulo en una hoja de papel cuadriculado se puede simular este proceso.

4. Pirámides

El apartado Pirámides presenta al alumno, una argumento riguroso de porque el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma con igual base y altura. Para ello se presentan conceptos e ideas claves en el estudio de la geometría contemporánea de forma clara y accesible para los estudiantes de nivel secundaria; por ejemplo, las ideas de Cavalieri para calcular volúmenes se aplican para calcular el volumen de pirámides deformadas.

Este apartado expone, con una presentación, como se obtiene la fórmula para calcular el volumen de las pirámides de las cuales conocemos el área de sus bases y la altura. En total son 2 escenas, las cuales son de carácter teórico. En la primera Pirámides 1 se presenta la motivación, mostrando que no es posible meter cubos enteros que llenen una pirámide cualquiera. En Pirámides 2 se explica de forma interactiva por que dos pirámides con la misma base y con la misma altura tienen el mismo volumen.

Pirámide 1

Los controles para controlar las presentaciones aparecen en la parte inferior de las escenas y son:

• Avanzar - Salta a la siguiente lámina.
• Retroceder - Regresa al principio de la lámina anterior.
• Pausa - Pausa la presentación.
• Continuar - Continua la presentación después de una Pausa.

Conviene advertir que las escenas se pausan de forma automática en momentos clave, por ejemplo, cuando se plantea una pregunta que hay que responder.

Sugerencias Didácticas

Aunque la escena es prácticamente autocontenida se sugiere lo siguiente:

En Pirámides 1 aparecen las siguientes preguntas que presentamos a continuación con algunas posibles respuestas y observaciones:

1. Cuando se presenta al principio el seccionado del cubo en 6 pirámides, es importante tener presente todo el tiempo, que la base de estas pirámides mide de lado la mitad que su altura.
2. -El volumen de una pirámide solo depende de su base y de su altura, ...- esta afirmación si causa dudas en los alumnos es conveniente saltársela, se explica con detalle en la escena siguiente.

Pirámide 2

Los controles para controlar las presentaciones aparecen en la parte inferior de las escenas y son:

• Avanzar - Salta a la siguiente lámina.
• Retroceder - Regresa al principio de la lámina anterior.
• Pausa - Pausa la presentación.
• Continuar - Continua la presentación después de una Pausa.

Hay varios controles extras que irán apareciendo durante la presentación, su explicación se detalla en la propia escena.

Conviene advertir que las escenas se pausan de forma automática en momentos clave, por ejemplo, cuando se plantea una pregunta que hay que responder.

Sugerencias Didácticas

En Pirámides 2 aparecen una gran cantidad de afirmaciones y preguntas que no es importante responder. Los métodos que aquí se presentan son propios de estudios superiores y solo se muestran a modo de demostración para motivar a los alumnos a seguir trabajando con las matemáticas y que no crean que todo está terminado en este punto.

5. Ejercicios

El apartado Ejercicios está inspirado en el trabajo del matemático alemán Hans Freudenthal sobre la experiencia del niño al aprender el concepto de volumen. La conservación de volúmenes y capacidades bajo ciertas deformaciones de un envase favorece el entendimiento general de los conceptos. En esta unidad se muestran diferentes recipientes con formas diversas para ser llenados con el contenido de un prisma. Se sugiere comenzar con este último apartado en caso de contar con suficiente tiempo para presentar este tema.

Instrucciones

El punto blanco que se encuentra del lado derecho del frasco derecho controla el nivel al que se predice que va a llegar el agua después de hacer el trasvase. Muévase arriba y abajo para ver como el nivel rojo cambia de lugar.

El botón verificar, realiza el trasvase de forma animada.

El botón siguiente cambia de frasco.

Sugerencias didácticas

La escena está creada para fomentar la experiencia del volumen en el alumno, se sugiere por lo tanto, hacer participar a los alumnos haciendo equipos. Un representante de cada equipo pone una marca utilizando las herramientas, en donde cree que va a llegar el nivel de agua y gana el equipo que se acerque más.

Datos curiosos sobre la medida de volúmenes:

• Un chiste pequeño:
  • En una ocasión se le preguntó a un ingeniero, a un carnicero y a un cantante como se calculaba el volumen de una vaca a lo que contestaron lo siguiente:
    • Ingeniero - Tomamos la vaca, la sumergimos en una tina muy grande con agua y medimos el volumen del agua que desaloja.
    • Carnicero - Siguiendo las ideas de este interactivo, podemos partir la vaca en cubos de un decímetro cúbico y contarlos. La vaca tendrá por volumen la suma del volumen de los cubos.
    • Cantante - Mmmmmmm... ¿como vemos el volumen de una vaca? ... pues todo depende de que tan fuerte muja.

• La paradoja de Tarski Banach es una de las afirmaciones matemáticas más sorprendentes que existen hoy en día, y sigue sorprendiendo la riqueza de resultados que provocó su estudio, actualmente vigente. Consiste en lo siguiente:

  Dada una esfera de radio 1 es posible partirla en un numero finito de pedazos que al moverlos (trasladando y rotando) pueden forman 2 esferas del mismo radio. Esto afecta a la intuición que considera imposible tal afirmación. ¿Cómo un objeto que tiene determinado volumen puede partirse en pedazos y armarse de nuevo un objeto con 2 veces el volumen anterior? Este resultado se produce gracias a que no a todos los cuerpos en el espacio (no todos los conjuntos) se les puede calcular el volumen.

  Para que este resultado sea cierto es necesario considerar el axioma de elección que ha causado grandes polémicas en la comunidad matemática y no es completamente aceptado actualmente.